問題

100以下の自然数のうち3の倍数を除いた積9で割ったときの余りはいくつ?

1×2×4×5×7×8×・・・・・・×100÷9=○・・・

解説


(9m+1)・n≡n (mod 9) (m,nは整数)を利用します。

①9で割っったとき余りが1となるのは
1,10,19,・・・,100の12個
②9で割っったとき余りが2となるのは
2,11,20,・・・,92の11個
③9で割っったとき余りが4となるのは
4,13,22,・・・,94の11個
④9で割っったとき余りが5となるのは
5,14,23,・・・,95の11個
⑤9で割っったとき余りが7となるのは
7,16,25,・・・,97の11個
⑥9で割っったとき余りが8となるのは
8,17,26,・・・,98の11個

①から⑥より
1×2×4×5×7×8×・・・・・・×100
≡1^12・2^11・4^11・5^11・7^11・8^11 (mod 9)

(10≡1(mod 9) と 28≡1(mod 9) と64≡1(mod 9)なので)

=10^11・28^11・64^5・8
≡8 (mod 9)

 答え 8